Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ

Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТОМ 1

МЕХАНИКА

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов

МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1966

\tableofcontents

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

Этим томом издательство «Наука» начинает переиздание «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Впервые она выходит после смерти Е. М. Лифшица. На меня легла печальная и ответственная обязанность готовить Курс к печати без авторов.

В настоящем издании «Механики» исправлены опечатки, замеченные с момента выхода третьего издания, и внесены небольшие изменения, уточняющие изложение. Эти поправки были приготовлены Е. М. Лифшицем и мною и частично учтены в последнем английском издании книги.

Май 1987 г.

Л. П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Во втором издании эта книга почти не отличалась от первого издания. Не возникло необходимости в сколько-нибудь значительной ее переработке и при подготовке нового издания. Поэтому б́ольшая часть книги воспроизведена стереотипно (с исправлением лишь опечаток). Переработке и дополнению, произведенным мной совместно с Л. П. Питаевским, подверглись лишь последние параграфы, посвященные адиабатическим инвариантам.

Июнь 1972 г.

Е. М. Лифшиц

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящей книгой мы рассчитываем начать последовательное переиздание всех томов нашей «Теоретической физики». Окончательный план ее сейчас представляется и следующем виде:

1. Механика. 2. Теория поля. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 4. Релятивистская квантовая теория. 5. Статистическая физика. 6. Гидродинамика. 7. Теория упругости. 8. Электродинамика сплошных сред. 9. Физическая кинетика.

Мы благодарны И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Питаевскому за помощь при чтении корректуры книги.

Москва, июль 1957 г.

Л. Д. Ландау, Е, М. Лифшиц

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

1 Обобщенные координаты

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точкиВместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о «частицах».. Под этим названием понимают тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения, Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, не при рассмотрении их суточного вращения.

Положение материальной точки в пространстве определяется ее радиус-вектором r⃗, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами x, y, z. Производная r⃗ по времени t.

называется скоростью, а вторая производная d2r⃗ ¾ dt2, ускорением точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: v⃗=r⃗̇.

Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т. е. 3N координат. Вообще число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно 3N. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат. Любые s величин q1,q2,…,qs, вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы), называют её обобщенными координатами, а производные q̇i— ее обобщенными скоростями.

Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать положение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних будет различным и положение системы в следующий момент времени (т. е. через бесконечно малый временной интервал dt).

Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат q и скоростей q̇ в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений q̈ в этот моментДля краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q совокупность всех координат q1,q2,…,qs, (и под q̇ аналогично совокупность всех скоростей). .

Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. По отношению к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т, е, траектории движения механической системы.

2 Принцип наименьшего действия

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

или, в краткой записи, L(q,q̇,t), причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимает определенные положения; характеризуемые двумя наборами значений координат q(1) и q(2). Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

имел наименьшее возможное значениеСледует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траекто- рии может оказаться, что интеграл (2,1) имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2,1)— действием.

Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и q̇, но не более высокие производные q̈,q⃛,…, является выражением указанного выше утверждения, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении минимума интеграла (2,1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция q(t).

Пусть q=q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую функцию вида

где d(t) — функция, малая во всем интервале времени от t1 до t2 (ее называют вариацией функции q(t)); поскольку при t=t1 и t=t2 все сравниваемые функции (2,2) должны принимать одни и те же значения q(1) и q(2), то должно быть:

Изменение S при замене q на q+dq дается разностью

Разложение этой разности по степеням dq и q (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности SВообще --- экстремальности) является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде